Question

3．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f$′（x）＜\frac{1}{2}$，则不等式f（x³）$＞\frac{{x}^{3}+1}{2}$的解集为（-∞，1）．

Answer 1

分析 设g（x）=f（x）-$\frac{{x}^{3}+1}{2}$，求出g（1），求出g（x）的导函数，确定其单调性，由单调性列式求解

解答 解：定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f$′（x）＜\frac{1}{2}$，
∴f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，设h（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，则h′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，
∴h（x）是R上的减函数，且h（1）=f（1）-$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
故不等式f（x³）$＞\frac{{x}^{3}+1}{2}$，即 f（x³）-$\frac{{x}^{3}}{2}$＞$\frac{1}{2}$，即 h（x³）＞h（1），即 x³＜1，
解得-∞＜x＜1，∴原不等式的解集为（-∞，1），
故答案为：（-∞，1）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答的关键是正确构造出辅助函数，属于中档题．