Question

19．如图直角梯形OADC中，OA∥CD，∠D=60°，OA=1，CD=2，在梯形内挖去一个以OA为半径的四分之一圆，图中阴影部分绕OC所在直线旋转一周，求该旋转体的体积和表面积．

Answer 1

分析 旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，根据数据利用面积公式与体积公式，可求其表面积和体积．

解答 解：旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，
∵，∠D=60°，OA=1，CD=2，
故圆台的上底和半球的半径为1，
圆台的下底半径为：2，
圆台的母线长为：2，
圆台的高为：$\sqrt{3}$，
所求旋转体的表面积由三部分组成：
圆台下底面、侧面和一半球面；（3分）
S_半球=2π，S_圆台侧=6π，S_圆台底=4π．
故所求几何体的表面积为：2π+6π+4π=12π；（7分）
由V_圆台=$\frac{1}{3}$π（1²+$\sqrt{{1}^{2}×{2}^{2}}$+2²]×$\sqrt{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$π，（9分）
V_半球=$\frac{2}{3}$π×1³=$\frac{2}{3}$π；（11分）
所以，旋转体的体积为V_圆台-V_半球=$\frac{7\sqrt{3}-2}{3}$π（12分）

点评 本题考查组合体的面积、体积问题，考查空间想象能力，数学公式的应用，是中档题．