Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），圆x²+y²=b²，且直线y=

1

3

b夹在椭圆中的弦长与夹在圆中的弦长之比等于3，则椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：联立方程求解夹在椭圆中的弦长为

4 2 a

3

，夹在圆中的弦长为2

b2- b2 9

=

4 2

3

b，得出即

a

b

=3，利用a²=b²+c²，求解．

解答： 解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∴椭圆

x2

a2

+

b2

9b2

=1（a＞b＞0），x=

2 2 a

3

，
∴∵圆x²+y²=b²，
∴直线y=

1

3

b夹在圆中的弦长为2

b2- b2 9

=

4 2

3

b，
∵夹在椭圆中的弦长与夹在圆中的弦长之比等于3，
∴

4 2 a 3

4 2 b 3

=3，即

a

b

=3，
∵a²=b²+c²，
∴1=

1

9

+

c2

a2

∴

c

a

=

2 2

3

，
故答案为：

2 2

3

点评：本题考察了椭圆与直线，圆与直线的位置关系，相交得出的线段问题，属于中档题．