Question

求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在y轴上，焦距为8，渐近线斜率为±

1

3

；
（2）经过点（3，-2），且一条渐近线的倾斜角为

π

6

；
（3）焦点在x轴上，过点P（4

2

，-3），且Q（0，5）与两焦点连线互相垂直；
（4）离心率e=

2

，经过点P（-5，3）；
（5）以椭圆

x2

20

+

y2

16

=1的长轴的端点为焦点，且过椭圆焦点．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）标准方程：

y2

a2

-

x2

b2

=1，根据题意可得c=4，

a

b

=

1

3

，求出即可得出方程，
（2）根据题意可判断焦点在y轴上，双曲线的标准方程：

y2

a2

-

x2

b2

=1，求出a，b即可．
（3）根据题意

32

a2

-

9

b2

=1，c=5，a²+b²=c²，a⁴-66a²+32×25=0，a²=50，即可得出方程．
（4）可得焦点在x轴上的等轴双曲线，

x2

a2

-

y2

a2

=1，把点的坐标代入即可．
（5）求出椭圆

x2

20

+

y2

16

=1的长轴的端点（-2

5

，0）（2

5

，0），焦点为（-2，0）（2，0），即可得出双曲线的方程．

解答： 解：（1）设双曲线的标准方程：

y2

a2

-

x2

b2

=1，
∵焦距为8，渐近线斜率为±

1

3

；
∴c=4，

a

b

=

1

3

，
10a²=16，a²=

8

5

，
b²=

72

5

，
∴标准方程为：

5y2

8

-

5x2

72

=1，
（2）∵经过点（3，-2），且一条渐近线的倾斜角为

π

6

；
∴可判断焦点在y轴上，双曲线的标准方程：

y2

a2

-

x2

b2

=1，
∴

4

a2

-

9

b2

=1，

a

b

=

3

3

，
a=1，b=

3

，
∴标准方程：y²-

x2

3

=1，
（3）∵焦点在x轴上，过点P（4

2

，-3），且Q（0，5）与两焦点连线互相垂直；
∴

32

a2

-

9

b2

=1，c=5，a²+b²=c²，
∴a⁴-66a²+32×25=0，a²=50（舍去），a²=16，b²=9，
∴方程为：

x2

16

-

y2

9

=1，
（4）∵离心率e=

2

，经过点P（-5，3）；
∴焦点在x轴上的等轴双曲线，

x2

a2

-

y2

a2

=1
∴

16

a2

=1，a²=16，
x²-y²=16，
（5）设

x2

a2

-

y2

b2

=1
∵椭圆

x2

20

+

y2

16

=1的长轴的端点（-2

5

，0）（2

5

，0），焦点为（-2，0）（2，0）
∴c=2

5

，a=2，b=4，
∴

x2

4

-

y2

16

=1，

点评：本题考察了待定系数法求解双曲线的方程，充分利用了双曲线的几何意义．属于中档题．