Question

17．已知定义在R上的函数f（x）=a^x（0＜a＜1），且f（1）+f（-1）=$\frac{10}{3}$，若数列{f（x）}（n∈N^*）的前n项和等于$\frac{40}{81}$．则n=4．

Answer 1

分析 由已知f（1）+f（-1）=$\frac{10}{3}$求得a值，再由等比数列的前n项和列式得答案．

解答 解：∵f（x）=a^x（0＜a＜1），且f（1）+f（-1）=$\frac{10}{3}$，
∴$a+\frac{1}{a}=\frac{10}{3}$，即3a²-10a+3=0，解得a=3（舍）或a=$\frac{1}{3}$．
∴f（x）=$（\frac{1}{3}）^{x}$．
则数列{f（n）}的前n项和为$\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]=\frac{40}{81}$，
∴$（\frac{1}{3}）^{n}=\frac{1}{81}$，得n=4．
故答案为：4．

点评 本题考查指数函数的图象和性质，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．