Question

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且${b^2}-{（a-c）^2}=（2-\sqrt{3}）ac$．
（1）求角B的大小；
（2）若数列{a_n}是等差数列，且a₁•cos2B=1，a₂=4，求{$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）化简已知等式可得a²+c²-b²=$\sqrt{3}$ac，由余弦定理解得cosB，结合B的范围，即可求B的值．
（2）设数列{a_n}的公差为d，d=a₂-a₁=2，a_n=2+2（n-1）=2n，（n∈N⁺），$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}=\frac{4}{2n×2（n+1）}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，累加即可．

解答 解：（1）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b²-（a-c）²=（2-$\sqrt{3}$）ac，
所以a²+c²-b²=$\sqrt{3}$ac，
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{\sqrt{3}ac}{2ac}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又因为B为△ABC的内角，所以B=$\frac{π}{6}$，
（2）设数列{a_n}的公差为d，
由a₁•cos2B=1⇒a₁=2，
∴d=a₂-a₁=2，a_n=2+2（n-1）=2n，（n∈N⁺）
$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}=\frac{4}{2n×2（n+1）}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴{$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和S_n=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了裂项求和，属于中档题．