Question

7．设a，b，c为三个不同的实数，记集合A=$\left\{\begin{array}{l}{x∈R|\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax+1=0}\\{{x}^{2}+bx+c=0}\end{array}\right.\left.\right\}}\end{array}\right.$，B=$\left\{\begin{array}{l}{x∈R|\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+a=0}\\{{x}^{2}+cx+b=0}\end{array}\right.\left.，\right\}}\end{array}\right.$，若集合A，B中元素个数都只有一个，则b+c=（　　）

• A． 1
• B． 0
• C． -1
• D． -2

Answer 1

分析 设x₁²+ax₁+1=0，x₁²+bx₁+c=0，得x₁=$\frac{c-1}{a-b}$，同理，由x₂²+x₂+a=0，x₂²+cx₂+b=0，得x₂=$\frac{a-b}{c-1}$（c≠1），再根据韦达定理即可求解．

解答 解：设x₁²+ax₁+1=0，x₁²+bx₁+c=0，两式相减，得（a-b）x₁+1-c=0，解得x₁=$\frac{c-1}{a-b}$，
同理，由x₂²+x₂+a=0，x₂²+cx₂+b=0，得x₂=$\frac{a-b}{c-1}$ （c≠1），
∵x₂=$\frac{1}{{x}_{1}}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$是第一个方程的根，
∵x₁与$\frac{1}{{x}_{1}}$是方程x₁²+ax₁+1=0的两根，
∴x₂是方程x²+ax+1=0和x²+x+a=0的公共根，
因此两式相减有（a-1）（x₂-1）=0，
当a=1时，这两个方程无实根，
故x₂=1，从而x₁=1，
于是a=-2，b+c=-1，
故选：C．

点评 本题考查了根与系数的关系及二元一次方程的解，属于基础题，关键是根据韦达定理解题．