题目内容
（2009•孝感模拟）如图，O（0，0）A（1，0）为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中B为顶点作△P1BP2，再P2和P2B的中C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去．有如下结论：①所作的正三角形的边长构成公比为
| 1 |
| 2 |
②每一个正三角形都有一个顶点在直线AP2x=1）上；
③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点P6的坐标是(
| 63 |
| 64 |
| 21 |
| 64 |
| 3 |
④第n个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点Pn的横坐标是xn，则
| lim |
| n→∞ |
其中正确结论的序号是
①②③④
①②③④
（把你认为正确结论的序号都填上）．分析：根据O（0，0）A（1，0）为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中B为顶点作△P1BP2，再P2和P2B的中C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，根据规律可判定①②的真假，结合图形求出点P6的坐标，可判定③的真假，求出第n个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点Pn的横坐标xn，xn=1-
，然后求极限可得结论．
| 1 |
| 2n-1 |
解答：解：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的
，故①正确；
根据图形的规律可知每一个正三角形都有一个顶点在直线AP2x=1上，故②正确；
第六个正三角形的边长为
，故顶点P6的横坐标为
，P5的纵坐标为
-
-
=
从而顶点P6的纵坐标为
+
=
，故③正确；
第n个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点Pn的横坐标是xn，xn=1-
，则
xn=1，故④正确．
故答案为：①②③④
| 1 |
| 2 |
根据图形的规律可知每一个正三角形都有一个顶点在直线AP2x=1上，故②正确；
第六个正三角形的边长为
| 1 |
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| 63 |
| 64 |
| ||
| 2 |
| ||
| 8 |
| ||
| 16 |
5
| ||
| 16 |
从而顶点P6的纵坐标为
5
| ||
| 16 |
| ||
| 64 |
21
| ||
| 64 |
第n个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点Pn的横坐标是xn，xn=1-
| 1 |
| 2n-1 |
| lim |
| n→∞ |
故答案为：①②③④
点评：本题主要考查了等比数列的应用，同时考查了识图能力，将图形问题转化成数列问题解决即可，属于中档题．
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