Question

已知a₁=1，a_n+1+a_n=n，求a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题可以先根据题中所给的递推关系，构了造一个新的等比数列，得到新数列的一个通项，从而求出原数列的通项公式，即本题结论．

解答： 解：∵a_n+1+a_n=n，
∴an+1-

1

2

(n+1)+

1

4

=-(an-

1

2

n+

1

4

)．
∵a₁=1，
∴a1-

1

2

×1+

1

4

=

3

4

．
∴数列{an+1-

1

2

(n+1)+

1

4

}是以

3

4

为首项，-1为公比的等比数列．
∴an-

1

2

n+

1

4

=

3

4

×(-1)n-1，
∴an=

1

2

n+

1

4

+

3

4

×(-1)n-1，n∈N^*．

点评：本题考查的是用构造法求数列通项，考查了化归转化的数学思想，本题难度适中，属于中档题．