Question

已知命题p：

4

x-1

≤-1，命题q：x²-x＜a²-a，且?q的一个充分不必要条件是?p，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：命题p：

4

x-1

≤-1，转化为一元二次不等式，解得-3≤x＜1．由于?q的一个充分不必要条件是?p，
可得p是q充分不必要条件，及命题q：x²-x＜a²-a，可得a²-a＞（x²-x）_max，x∈[-3，1）．再利用二次函数的单调性即可解出．

解答： 解：命题p：

4

x-1

≤-1，化为

x+3

x-1

≤0，即（x-1）（x+3）≤0，且x-1≠0，解得-3≤x＜1；
∵?q的一个充分不必要条件是?p，
∴p是q充分不必要条件．
∵命题q：x²-x＜a²-a，
∴a²-a＞（x²-x）_max，x∈[-3，1）．
令f（x）=x²-x=(x-

1

2

)2+

3

4

≤f（-3）=12，
∴a²-a＞12，
解得a＞4或a＜-3．
∴实数a的取值范围是（-∞，-3）∪（4，+∞）．
故答案为：（-∞，-3）∪（4，+∞）．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的单调性、简易逻辑的判定，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．