Question

2．设等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n，已知a₂=5，S₁₀=120．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证${T_n}＜\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）求出${b}_{n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，利用裂项求和法能证明${T_n}＜\frac{1}{6}$．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{a_2}={a_1}+d=5\\{S_{10}}=10{a_1}+\frac{10×（10-1）}{2}d=120\end{array}\right.$，…2
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=3\\ d=2\end{array}\right.$…4
所以a_n=3+（n-1）×2=2n+1．…6
证明：（Ⅱ）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$…8
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+$…$+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$…10
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）=\frac{1}{6}-\frac{1}{2（2n+3）}$…12
$＜\frac{1}{6}$．…13

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．