Question

14．如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ） 求O点到平面ACD的距离；
（Ⅲ） 求二面角A-BC-D的余弦值．

Answer 1

分析 解法一（I）证明AO⊥BD，AO⊥AC，即可证明AD⊥平面BCD；
（Ⅱ）设点O到平面ACD的距离为h，利用等积法V_O-ACD=V_A-OCD，即可求出h的值；
（Ⅲ）先找二面角A-BC-D的平面角，再计算平面角的余弦值；
解法二（I）同解法一；
（Ⅱ）先求出平面ACD的法向量，再利用法向量与$\overrightarrow{OA}$的夹角求出O到平面ACD的距离；
（Ⅲ）建立空间直角坐标系，利用平面BCD与平面ABC的法向量求出二面角A-BC-D的余弦值．

解答 解法一：（I）证明：连结OC，
∴△ABD为等边三角形，O为BD的中点，
∴AO⊥BD；
∵△ABD和△CBD为等边三角形，O为BD的中点，
$AB=2，AC=\sqrt{6}$，
∴$AO=CO-\sqrt{3}$；
在△AOC中，∵AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，
即AO⊥AC，
∵BD∩OC=0，AD⊥面BCD；
（Ⅱ）设点O到平面ACD的距离为h，
∵V_O-ACD=V_A-OCD，
∴$\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•h=\frac{1}{3}S{△_{OCD}}•AO$；
在△ACD中，$AD=CD=2，AC=\sqrt{6}$，
∴${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}\sqrt{6}•\sqrt{{2^2}-{{（{\frac{{\sqrt{6}}}{2}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{15}}}{2}$；
而$AO=\sqrt{3}，{S_{△OCD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$h=\frac{{{S_{△OCD}}}}{{{S_{△ACD}}}}•AO=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，
∴点O到平面ACD的距离为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$；
（Ⅲ）过O作OE⊥BC于E，连结AE，
∵AO⊥平面BCD，
∴AE在平面BCD上的射影为OE；
∴AE⊥BC，
∴∠AEO为二面角A-BC-D的平角；
在Rt△AEO中，AO=$\sqrt{3}$，OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴tan∠AEO=$\frac{AO}{OE}$=2，
∴cos∠AEO=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
∴二面角A-BC-D的余弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；
解法二：（I）同解法一；
（Ⅱ）设平面ACD的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
又$\overrightarrow{DA}=（0，1，\sqrt{3}），\overrightarrow{DC}=（\sqrt{3}，1，0）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{y+\sqrt{3}z=0}\\{\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，1）；
设$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow m$夹角为θ，
则cosθ=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{OA}|}$|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
设O到平面ACD的距离为h，
∵$\frac{h}{OA}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，解得h=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴O到平面ACD的距离为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$；
（Ⅲ）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，

则$O（0，0，0），A（0，0，\sqrt{3}），B（0，1，0），C（\sqrt{3}，0，0），D（0，-1，0）$，
∵AO⊥平面BCD，∴平面BCD的法向量$\overrightarrow{AO}=（0，0，\sqrt{3}）$，
设平面ABC的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
且$\overrightarrow{AB}=（0，1，-\sqrt{3}），\overrightarrow{BC}=（\sqrt{3}，-1，0）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{y-\sqrt{3}z=0}\\{\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，1）；
设$\overrightarrow n$与$\overrightarrow{AO}$夹角为θ，则|cosθ|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AO}}{|\overrightarrow{n}|×|\overrightarrow{AO}|}$|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴二面角A-BC-D的余弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了用空间向量解决空间中的平行与垂直问题，考查了空间距离与角的计算问题，是综合性题目．