题目内容
17．某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为$\frac{4}{5}$，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元．
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为$\frac{2}{5}$，每次中奖均可获得奖金400元．
（Ⅰ）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列；
（Ⅱ）试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？
分析 （I）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．
（II）利用数学期望计算公式、二项分布列的性质即可得出．
解答 解：（Ⅰ）$P（{X=0}）=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}×\frac{1}{2}×\frac{1}{5}=\frac{7}{25}$，$P（{X=500}）=\frac{4}{5}×\frac{1}{2}=\frac{2}{5}$，$P（{X=1000}）=\frac{4}{5}×\frac{1}{2}×\frac{4}{5}=\frac{8}{25}$，
所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列为
| X | 0 | 500 | 1000 |
| P | $\frac{7}{25}$ | $\frac{2}{5}$ | $\frac{8}{25}$ |
若选择方案乙进行抽奖中奖次数ξ～B$（3，\frac{2}{5}）$，则$E（ξ）=3×\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$，
抽奖所获奖金X的均值E（X）=E（400ξ）=400E（ξ）=480，
故选择方案甲较划算．
点评 本题考查了相互独立事件的概率计算公式、数学期望计算公式、二项分布列的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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