Question

4．四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，BC=AB=1，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求PA与平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）要证CE∥平面PAB，只要证明CE平行于平面PAB内的一条直线即可，由E为PD的中点，可联想找PA的中点F，连结EF、BF后，证明BCEF是平行四边形即可证得答案；
（Ⅱ）取AD的中点G，连接EG，则EG∥AP，问题转化为求EG与平面ACE所成的角的正弦．连接BG交AC于O，连接OE，证得平面ACE⊥平面OEG，交于直线OE，过G作GH⊥OE，交OE于H，可得∠GEH为EG与平面ACE所成的角，即∠GEO，运用解直角三角形，即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）证明：如图，取PA的中点F，连结FE、FB，
则FE∥BC，且FE=$\frac{1}{2}$AD=BC，
∴BCEF是平行四边形，
∴CE∥BF，而BF?平面PAB，∴CE∥平面PAB；
（Ⅱ）取AD的中点G，连接EG，则EG∥AP，
问题转化为求EG与平面ACE所成的角的正弦．
连接BG交AC于O，连接OE，
由AC⊥EG，AC⊥BG，可得AC⊥平面OEG，即有：
平面ACE⊥平面OEG，交于直线OE，
过G作GH⊥OE，交OE于H，
可得∠GEH为EG与平面ACE所成的角，即∠GEO，
由EG=1，GO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得EO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
可得sin∠GEO=$\frac{GO}{EO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则PA与平面ACE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了直线与平面平行的判定，考查了求线面角的方法，解答的关键是通过线面垂直求得线面角，属中档题．