Question

已知函数f（x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x+1在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：分二次项的系数大于零、等于零、小于零三种情况，分别利用条件以及二次函数的性质，分别求得实数λ的取值范围，再取并集，即得所求．

解答： 解：当-（1+λ）＞0，即λ＜-1时，应有

2(1-λ)

2(1+λ)

≤-1，即

2

1+λ

≤0，求得λ＜-1，∴λ＜-1．
当-（1+λ）=0，即λ=-1时，f（x）=4x+1，满足在[-1，1]上是增函数．
 当-（1+λ）＜0，即λ＞-1时，应有有

2(1-λ)

2(1+λ)

≥1，即

2λ

1+λ

≤0，求得λ≤0，∴-1＜λ≤0．
综上可得，实数λ的取值范围为（-∞，0]．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．