题目内容
某供货商拟从码头A发货至其对岸l的两个商场B，C处，通常货物先由A处船运至BC之间的中转站D，再利用车辆转运．如图，码头A与两商场B，C的距离相等，两商场间的距离为20千米，且∠BAC=| π |
| 2 |
至D处的运费为100元/千米，这批货到D后需分别发车2辆、4辆转运至B、C处，每辆汽车运费为25元/千米．设∠ADB=α，该批货总运费为S元．
（Ⅰ）写出S关于α的函数关系式，并指出α的取值范围；
（Ⅱ）当α为何值时，总运费S最小？并求出S的最小值．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,基本不等式在最值问题中的应用,不等式的实际应用
专题：应用题,导数的综合应用
分析：（Ⅰ）求出AD，BD，CD，利用S=AD×100+BD×25×2+CD×25×4，写出S关于α的函数关系式，并指出α的取值范围；
（Ⅱ）换元，利用导数，即可求出当α为何值时，总运费S的最小值．
（Ⅱ）换元，利用导数，即可求出当α为何值时，总运费S的最小值．
解答：
解：（Ⅰ）依题意，在Rt△ABC中，2AB2=202，
∴AB=10
．…（1分）
又∵在△ABD中，∠ABD=
=
，∠ADB=α，
由
=
，得AD=
…（2分）
由
=
，得BD=
，…（3分）
∴CD=20-
． …（4分）
∴S=AD×100+BD×25×2+CD×25×4=
×100+
×50+[20-
]×100
=2000+
，其中α的取值范围是(
，
)． …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）S=2000+
=1500+500×
，…（8分）
令f(α)=
，
∴f′(α)=
=
，…（9分）
由f′（α）=0得：cosα=
，
又∵α∈(
，
)，
∴α=
． …（10分）
当α∈(
，
)时，f′（α）＜0，
当α∈(
，
)时，f′（α）＞0，…（11分）
∴f(α)min=f(
)=
=
． …（12分）
∴Smin=1500+500
（元），
∴当α=
时，运输费用S的最小值为(1500+500
)元．…（13分）
∴AB=10
| 2 |
又∵在△ABD中，∠ABD=
π-
| ||
| 2 |
| π |
| 4 |
由
| AD | ||
sin
|
| AB |
| sinα |
| 10 |
| sinα |
由
| BD | ||
sin[π-(α+
|
| AB |
| sinα |
10
| ||||
| sinα |
∴CD=20-
10
| ||||
| sinα |
∴S=AD×100+BD×25×2+CD×25×4=
| 10 |
| sinα |
10
| ||||
| sinα |
10
| ||||
| sinα |
=2000+
1000-500
| ||||
| sinα |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）S=2000+
1000-500
| ||||
| sinα |
| 2-cosα |
| sinα |
令f(α)=
| 2-cosα |
| sinα |
∴f′(α)=
| sinα•sinα-cosα(2-cosα) |
| sin2α |
| 1-2cosα |
| sin2α |
由f′（α）=0得：cosα=
| 1 |
| 2 |
又∵α∈(
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
∴α=
| π |
| 3 |
当α∈(
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
当α∈(
| π |
| 3 |
| 3π |
| 4 |
∴f(α)min=f(
| π |
| 3 |
2-
| ||||
|
| 3 |
∴Smin=1500+500
| 3 |
∴当α=
| π |
| 3 |
| 3 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换、解三角形、函数与导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力和运算求解能力，考查应用意识，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想．
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