Question

已知数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，且a₁=3，a₂=5．
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）求

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

关于n的表达式．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知数据和等差数列的通项公式可得log₂（a_n-1）=n，进而可得{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ+1；
（2）由（1）可得a_n+1-a_n=2ⁿ，可得

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=2+2²+…+2ⁿ，由等比数列的求和公式可得．

解答： 解：（1）由题意可得log₂（a₁-1）=log₂2=1，
log₂（a₂-1）=log₂4=2，
∵等差数列{log₂（a_n-1）}的公差d=2-1=1，
∴log₂（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，
∴a_n-1=2ⁿ，
∴{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ+1；
（2）由（1）知a_n=2ⁿ+1，∴a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=2+2²+…+2ⁿ=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2

点评：本题考查等差数列的性质和等比数列的求和公式，涉及对数的运算，属中档题．