Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+2

是奇函数．
（1）求b的值；
（2）用定义法证明函数f（x）在R上是减函数；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用f（0）=0即可解出；
（2）利用减函数的定义即可证明；
（3）利用函数的奇偶性、单调性即可解出．

解答： 解：（1）∵定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+2

是奇函数．
∴f（0）=

-1+b

4

=0，解得b=1．
（2）由（1）可得：f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=

1

2x+1

-

1

2

．
?x₁＜x₂，则2x2＞2x1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1+1

-

1

2

-(

1

2x2+1

-

1

2

)=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函数f（x）在R上是减函数．
（3）∵函数f（x）是R上的奇函数，对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
∵函数f（x）在R上是减函数，
∴t²-2t＞k-2t²，
∴k＜3t²-2t=3(t-

1

3

)2-

1

3

，任意的t∈R恒成立．
∴k＜-

1

3

．
因此k的取值范围是k＜-

1

3

．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了计算能力，属于基础题．