Question

已知曲线f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）与直线x=1交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄的值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,对数的运算性质

专题：导数的综合应用,等差数列与等比数列

分析：由f′（x）=（n+1）xⁿ，知k=f′（x）=n+1，故点P（1，1）处的切线方程为：y-1=（n+1）（x-1），令y=0，得x_n=

n

n+1

，由此能求出log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄的值

解答： 解：f′（x）=（n+1）xⁿ，
k=f′（x）=n+1，
点P（1，1）处的切线方程为：y-1=（n+1）（x-1），
令y=0得，x=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
即x_n=

n

n+1

，
∴x₁×x₂×…×x₂₀₁₅=

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

2014

2015

=

1

2015

，
则log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄=log₂₀₁₅（x₁×x₂×…×x₂₀₁₅）
=log₂₀₁₅

1

2015

=-1．
故答案为：-1；

点评：本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．