Question

已知S_n=C

1 n

a₁+C

2 n

a₂+…+C

n n

a_n，n∈N^*．
（1）若S_n=n•2^n-1（n∈N），是否存在等差数列{a_n}对一切自然数n满足上述等式？
（2）若数列{a_n}是公比为q（q≠±1），首项为1的等比数列，数列{b_n}满足b₁+b₂+…+b_n=

Sn

2n

（n∈N^*），求证：{b_n}是等比数列．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）设S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ通过倒序相加法得到结论；
（2）求出S_n=

(1+q)n

q

，再利用b₁+b₂+…+b_n=

Sn

2n

，求出b_n+1，即可证明{b_n}是等比数列．

解答： （1）解：a_n=n（n∈N^*）．
下面证明：C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2^n-1．
设S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ
有S_n=0C_n⁰+C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ
又S_n=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+（n-2）C_n^n-2+…+0•C_n⁰，
两式相加2S_n=n（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=n•2ⁿ，
故S_n=n•2^n-1，n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ；
（2）证明：∵数列{a_n}是公比为q（q≠±1），首项为1的等比数列，∴a_k=q^k-1，
∴S_n=

(1+q)n

q

，
∵b₁+b₂+…+b_n=

Sn

2n

，
∴b_n+1=

Sn+1

2n+1

-

Sn

2n

=

1

q

[（

1+q

2

）ⁿ⁺¹-（

1+q

2

）ⁿ]=

q-1

2q

•（

1+q

2

）ⁿ，
∴

bn+1

bn

=

1+q

2

，
∴{b_n}是等比数列．

点评：本题考查数列的求和，考查等比数列的证明，难点在于对组合数性质的转化与应用，属于难题．