Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由两角和的正弦公式化简解析式可得f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，从而由正弦函数的性质可求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）由于f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

=sin[2（x+

π

12

）]+

1

2

，从而根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

∴T=

2π

2

=π
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，即单调增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（2）∵f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

=sin[2（x+

π

12

）]+

1

2

∴函数y=sin2x（x∈R）的图象向左平移

π

12

个单位后，得到y=sin[2（x+

π

12

）]图象，再向上平移

1

2

个单位即可得到f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

的图象．

点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基础题．