Question

19．若x＞-1，则f（x）=$\frac{2+x}{1+x}\sqrt{1+{{（1+x）}^2}}$的最小值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由x＞-1，可得x+1＞0，令t=x+1，t＞0，则y=f（x）=$\frac{2+x}{1+x}\sqrt{1+{{（1+x）}^2}}$=$\frac{1+t}{t}$•$\sqrt{1+{t}^{2}}$，运用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：由x＞-1，可得x+1＞0，
令t=x+1，t＞0，
则y=f（x）=$\frac{2+x}{1+x}\sqrt{1+{{（1+x）}^2}}$=$\frac{1+t}{t}$•$\sqrt{1+{t}^{2}}$
=（1+$\frac{1}{t}$）•$\sqrt{1+{t}^{2}}$≥2$\sqrt{\frac{1}{t}}$•$\sqrt{2t}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当t=1即x=0时，f（x）取得最小值2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．