Question

11．已知定义在R上的函数f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$是奇函数．
（1）求a，b的值，并判断函数f（x）在定义域中的单调性（不用证明）；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（0）=0，求出b的值，根据函数的奇偶性求出a的值即可；
（2）问题等价于f（t²-2t）＜f（k-2t²），得到t²-2t＞k-2t²，问题转化为$k＜3{t^2}-2t=3{（{t-\frac{1}{3}}）^2}-\frac{1}{3}$对t∈R恒成立，根据函数的单调性求出k的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴$f（0）=\frac{b-1}{a+1}=0$，∴b=1…（1分）
∴$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{a+{2^x}}}，f（-x）=\frac{{{2^x}-1}}{{a{2^x}+1}}，f（x）=-f（-x）$，
∴a•2^x+1=a+2^x，…（3分）
即a（2^x-1）=2^x-1对一切实数x都成立．
∴a=1，∴a=b=1．                                       …（5分）
f（x）是R上的减函数．                                     …（6分）
（2）不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，
等价于f（t²-2t）＜f（k-2t²），
又f（x）是R上的减函数，
∴t²-2t＞k-2t²，…（8分）
∴$k＜3{t^2}-2t=3{（{t-\frac{1}{3}}）^2}-\frac{1}{3}$对t∈R恒成立，…（10分）
∴$k＜-\frac{1}{3}$，
即实数k的取值范围是$（{-∞\;，\;\;-\frac{1}{3}}）$．                …（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查函数的奇偶性，是一道中档题．