Question

6．直线y=kx-1与曲线$y=-\sqrt{1-{{（x-2）}^2}}$有两个不同的公共点，则k的取值范围是（0，$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 根据题意得：y=kx-1为恒过定点（0，-1）的直线，曲线表示圆心为（2，0），半径为1的下半圆，由此利用数形结合思想能求出k的取值范围．

解答 解：根据题意得：y=kx-1为恒过定点（0，-1）的直线，
曲线表示圆心为（2，0），半径为1的下半圆，如图所示，
当直线与圆D相切时，有$\frac{|2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得：k=0或k=$\frac{4}{3}$（不合题意，舍去）；
把C（3，0）代入y=kx-1，得k=$\frac{1}{3}$，
∴k的取值范围是（0，$\frac{1}{3}$]．
故答案为：（0，$\frac{1}{3}$]．

点评 本题考查直线的斜率的取值范围的求法，考查直线、圆、点到直线距离公式、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．