Question

已知函数f（x）=

bx+c

x+1

的图象过原点，且关于点（-1，1）成中心对称．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若数列{a_n}（n∈N^*）满足：a_n＞0，a₁=1，a_n+1=（f（

an

））²，求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅲ）若数列{a_n}的前项和为S_n，判断S_n，与2的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由函数f（x）=

bx+c

x+1

的图象过原点，代入可得c=0；由函数f（x）=

bx

x+1

=b-

b

x+1

的图象关于点（-1，1）成中心对称可知b=1，从而求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）由a_n+1=（f（

an

））²可得

an+1

=

an

an +1

，从而

1

an+1

-

1

an

=1，从而求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅲ）当n≥2时，a_n=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，从而可得S_n＜2．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=

bx+c

x+1

 的图象过原点，
∴c=0，即f（x）=

bx

x+1

，
又∵函数f（x）=

bx

x+1

=b-

b

x+1

的图象关于点（-1，1）成中心对称，
∴b=1，
故f（x）=

x

x+1

．
（Ⅱ）∵a_n+1=（f（

an

））²，
∴

an+1

=

an

an +1

，
即，

1

an+1

-

1

an

=1．
∴数列{

1

an

}是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴

1

an

=n，
即a_n=

1

n2

．
（Ⅲ）当n≥2时，
a_n=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
则S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
＜1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2，
故S_n＜2．

点评：本题考查了函数的对称性与函数中参数的求法，同时考查了数列的通项公式与前n项和的求法，属于难题．