题目内容
18．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．倾斜角为$\frac{π}{3}$，且经过定点P（0，1）的直线l与曲线C交于M，N两点（Ⅰ）写出直线l的参数方程的标准形式，并求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$的值．
分析 （I）由倾斜角为$\frac{π}{3}$，且经过定点P（0，1）的直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{3}}\\{y=1+tsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$．曲线C的极坐标方程ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展开：ρ2=2$\sqrt{2}ρ$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ），利用互化公式可得直角坐标方程．
（II）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$代入圆C的方程为：t2-t-1=0，可得$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$即可得出．
解答 解：（I）由倾斜角为$\frac{π}{3}$，且经过定点P（0，1）的直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{3}}\\{y=1+tsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，化为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$．
曲线C的极坐标方程ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展开：ρ2=2$\sqrt{2}ρ$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ），可得直角坐标方程：x2+y2=2x+2y．
（II）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$代入圆C的方程为：t2-t-1=0，
t1+t2=1，t1t2=-1．
∴$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{1+4}}{1}$=$\sqrt{5}$．
点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
字词句段篇系列答案| 有明显拖延症 | 无明显拖延症 | 合计 | |
| 男 | 35 | 25 | 60 |
| 女 | 30 | 10 | 40 |
| 总计 | 65 | 35 | 100 |
（2）若在犯错误的概率不超过P的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P的值应为多少？请说明理由
附：独立性检验统计量K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d
| P（K2≥k0） | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
| k0 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
一张半径为4的圆形纸片的圆心为F1，F2是圆内一个定点，且F1F2=2，P是圆上一个动点，把纸片折叠使得F2与P重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与半径PF1的交点为Q，当P在圆上运动时，则Q点的轨迹为曲线E，以F1F2所在直线x为轴，F1F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图．