Question

3．一张半径为4的圆形纸片的圆心为F₁，F₂是圆内一个定点，且F₁F₂=2，P是圆上一个动点，把纸片折叠使得F₂与P重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与半径PF₁的交点为Q，当P在圆上运动时，则Q点的轨迹为曲线E，以F₁F₂所在直线x为轴，F₁F₂的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图．
（1）求曲线E的方程；
（2）曲线E与x轴的交点为A₁，A₂（A₁在A₂左侧），与x轴不重合的动直线l过点F₂且与E交于M、N两点（其中M在x轴上方），设直线A₁M、A₂N交于点T，求证：动点T恒在定直线l′上，并求l′的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：丨QF₁丨+丨QF₂丨=丨PF₁丨＞R＞丨F₁F₂丨，由椭圆的定义及性质，即可求得曲线E的方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，利用直线的斜率公式，即可求得x_T，即可求得l′的方程．

解答 解：（1）由题意CD垂直平分PF₂，则丨QF₁丨+丨QF₂丨=丨QF₁丨+丨QP丨=丨PF₁丨＞R＞丨F₁F₂丨，
∴Q的轨迹为以F₁，F₂为焦点，长轴长2a=4的椭圆，焦距2c=2，c=1，
b²=a²-c²=3，
∴动点Q的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由A₁（-2，0），A₂（2，0），设直线l方程为x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），T（x_T，y_T），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，整理得：（3m²+4）y²+6my-9=0，
则y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
由M在x轴上方，y₁＞0＞y₂，
则y₁-y₂=$\sqrt{{（y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
则A₁M，A₂N的方程是y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2），y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$（x+2），
x_T=$\frac{\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}+\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}}{\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}-\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}}$=$\frac{2{y}_{1}（{x}_{2}-2）+2{y}_{2}（{x}_{1}+2）}{{y}_{2}（{x}_{1}+2）-{y}_{1}（{x}_{2}-2）}$=$\frac{2{y}_{1}（m{y}_{2}-1）+2{y}_{2}（m{y}_{1}+3）}{{y}_{2}（m{y}_{1}+3）-{y}_{1}（m{y}_{2}-1）}$=$\frac{4m{y}_{1}{y}_{2}-2{y}_{1}+6{y}_{2}}{{y}_{1}+3{y}_{2}}$，
=$\frac{4m{y}_{1}{y}_{2}+2（{y}_{1}+{y}_{2}）-4（{y}_{1}-{y}_{2}）}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）-（{y}_{1}-{y}_{2}）}$，
=$\frac{-\frac{48m}{3{m}^{2}+4}-\frac{48\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}}{-\frac{12m}{3{m}^{2}+4}-\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{{3m}^{2}+4}}$=4，
∴动点T恒在定直线l′上，直线l′的方程为：x=4

点评 本题考查椭圆的标准方程及椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查转化思想，属于中档题．