题目内容

13．拖延症总是表现在各种小事上，但日积月累，特别影响个人发展，某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中，随机发放了110份问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表：
有明显拖延症无明显拖延症合计
男352560
女301040
总计6535100
（Ⅰ）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从40份女生问卷中抽取了8份问卷，现从这8份问卷中再随机抽取3份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为X，试求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）若在犯错误的概率不超过P的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P的值应为多少？请说明理由
附：独立性检验统计量K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d 
P（K2≥k0）0.250.150.100.050.025
k01.3232.0722.7063.8415.024

分析 （1）分层从40份女生问卷中抽取了8份问卷，有明显拖延症6人，“无明显拖延症2人，若从这8份问卷中随机抽取3份，随机变量X=0，1，2．利用“超几何分布”即可得出分布列及其数学期望；
（2）根据“独立性检验的基本思想的应用”计算公式可得K2的观测值k，即可得出．

解答 解：（1）从40份女生问卷中抽取了8份问卷，有明显拖延症6人，“无明显拖延症2人．…（2分）
则随机变量X=0，1，2，…（3分）
∴P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{5}{14}$；P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{3}{28}$…（6分）
分布列为

X012
P$\frac{5}{14}$$\frac{15}{28}$$\frac{3}{28}$
…（7分）
E（X）=0×$\frac{5}{14}$+1×$\frac{15}{28}$+2×$\frac{3}{28}$=$\frac{3}{4}$． …（8分）
（2）K2=$\frac{100（35×10-30×25）^{2}}{65×35×60×40}$≈2.930 …（10分）
由表可知2.706＜2.93＜3.840；
∴P=0.10． …（12分）

点评 本题考查了组合数的计算公式、古典概率计算公式、“超几何分布”分布列及其数学期望公式、“独立性检验的基本思想的应用”计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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