Question

如图已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D、E分别是AB、BB₁的中点．

(1) 证明：BC₁∥面A₁CD；

(2) 设AA₁＝AC＝CB＝2，AB＝2，

求三棱锥C－A₁DE的体积．

 

Answer 1

解： (1)连结AC₁交A₁C于点F，则F为AC₁的中点，又D是AB中点，连结DF，则BC₁∥DF，因为DF⊂平面A₁CD，BC₁⊄平面A₁CD，所以BC₁∥平面A₁CD.

(2)因为ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱，所以AA₁⊥CD，由已知AC＝CB，D为AB中点，所以，CD⊥AB，又AA₁∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB₁A₁，由AA₁＝AC＝CB＝2，AB＝2得，∠ACB＝90°，CD＝，A₁D＝，DE＝，A₁E＝3，故A₁D²＋DE²＝A₁E²，即DE⊥A₁D，所以VC－A₁DE＝××××＝1.