Question

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.

(1) 证明PA⊥BD；

(2) 设PD＝AD＝1，求棱锥D－PBC的高．

 

Answer 1

(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.

从而BD²＋AD²＝AB²，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.

所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.

(2)如图，作DE⊥PB，垂足为E.已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC.由(1)知BD⊥AD，

又BC∥AD，所以BC⊥BD.故BC⊥平面PBD，所以BC⊥DE.则DE⊥平面PBC.

由题设知PD＝1，则BD＝，PB＝2.根据DE·PB＝PD·BD，得DE＝，

即棱锥D－PBC的高为.