Question

14．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）求圆被直线x-y-1=0所截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）求出曲线y=x²-6x+1与坐标轴的交点，进而确定圆心与半径，即可求圆C的方程；
（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求圆被直线x-y-1=0所截得的弦长．

解答 解：（1）曲线y=x²-6x+1与y轴的交点为（0，1），
与x轴的交点为（3±2$\sqrt{2}$，0），
故可设C的圆心为（3，t），则有9+（t-1）²=8+t²，解得t=1，
则圆C的半径为$\sqrt{9}$=3，
所以圆C的方程为（x-3）²+（y-1）²=9；
（2）圆心到直线的距离d=$\frac{|3-1-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
所以圆被直线x-y-1=0所截得的弦长为2$\sqrt{9-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{34}$．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．