Question

9．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，直线l过原点，
（1）若直线l与C有两个不同的公共点，求实数k的取值范围；
（2）当k=$\frac{1}{2}$时，直线l截双曲线C的弦长．

Answer 1

分析 （1）设直线l的方程为y=kx，代入双曲线的方程，由判别式大于0，解不等式即可得到所求k的范围；
（2）将直线y=$\frac{1}{2}$x，代入双曲线的方程，求得交点，由距离公式可得弦长．

解答 解：（1）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y=kx，
代入双曲线的方程，可得（1-k²）x²=4，
由题意可得1-k²＞0，解得-1＜k＜1，
即有实数k的取值范围为（-1，1）；
（2）当k=$\frac{1}{2}$时，直线为y=$\frac{1}{2}$x，
代入双曲线的方程可得（1-$\frac{1}{4}$）x²=4，
解得x=±$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
即有交点为（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），（-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
可得弦长为2$\sqrt{\frac{16}{3}+\frac{4}{3}}$=$\frac{4\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程的运用，考查直线和双曲线的方程联立，求弦长，考查运算能力，属于基础题．