Question

11．如图，直线ED与圆相切于点D，且平行于弦BC，连接EC并延长，交圆于点A，弦BC和AD相交于点F．
（I）求证：AB•FC=AC•FB；
（Ⅱ）若D、E、C、F四点共圆，且∠ABC=∠CAB，求∠BAC．

Answer 1

分析 （I）连接CD，证明：△CFD∽△ACD，得到$\frac{CF}{AC}=\frac{BF}{BA}$，即可证明AB•FC=AC•FB；
（Ⅱ）证明∠ACF=∠CFA．∠EAD=∠DAB，即可求∠BAC．

解答 （I）证明：连接CD，
∵直线ED与圆相切于点D，
∴∠EDC=∠EAD，
∵ED∥BC，
∴∠EDC=∠DCB，
∴∠EAD=∠DCB，
∴∠CAD=∠DCF，
∵∠CDF=∠ADC，
∴△CFD∽△ACD，
∴$\frac{CF}{AC}=\frac{BF}{BA}$，
∴AB•FC=AC•FB；
（Ⅱ）解：∵D、E、C、F四点共圆，
∴∠CFA=∠CED，
∵ED∥BC，
∴∠ACF=∠CED，
∴∠ACF=∠CFA．
由（I）可知∠EAD=∠DCB，∠DCB=∠DAB，
∴∠EAD=∠DAB，
设∠EAD=∠DAB=x，则∠ABC=∠CAB=2x，
∴∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x，
在等腰△ACF中，∠CFA+∠ACF+∠CAF=π=7x，
∴x=$\frac{π}{7}$
∴∠BAC=2x=$\frac{2π}{7}$．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查四点共圆，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．