题目内容
19．已知曲线C的极坐标方程为ρsinθ+2ρcosθ=20，将曲线C1：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$后得到C2（1）求曲线C2的参数方程；
（2）若点M在曲线C2上运动，试求出M到曲线C的距离d的取值范围．
分析 （1）将曲线C1：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）代入$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$后可得曲线C2的参数方程．
（2）曲线C的极坐标方程为ρsinθ+2ρcosθ=20，可得直角坐标方程：2x+y-20=0．利用点到直线的距离公式可得M到曲线C的距离d．
解答 解：（1）将曲线C1：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）代入$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$后得到$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=2cosα}\\{{y}^{′}=3sinα}\end{array}\right.$，
可得曲线C2的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．
（2）曲线C的极坐标方程为ρsinθ+2ρcosθ=20，可得直角坐标方程：2x+y-20=0．
∴点M到曲线C的距离d=$\frac{|4cosα+3sinα-20|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（α+φ）-20|}{\sqrt{5}}$（其中cosφ=$\frac{3}{5}$，sinφ=$\frac{4}{5}$）．
∴d∈$[3\sqrt{5}，5\sqrt{5}]$．
点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、和差公式、坐标变换、三角函数单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线CA的延长线于P．
已知C点在⊙O直径BE的延长线上，CA切⊙O于A点，CD是∠ACB的平分线且交AE于点F，交AB于点D．
如图，异面直线AB，CD互相垂直，CF是它们的公垂线段，且F为AB的中点，作DE$\stackrel{∥}{=}$CF，连接AC，BD，G为BD的中点，AB=AC=AE=BE=2．
如图，在四面体PABC中，平面PBC⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，且∠C=90°，PB=PC，点E，F，G，H分别是线段AB，BP，BC，PA的中点，点M，N分别是EF，GH的中点．
如图，直线ED与圆相切于点D，且平行于弦BC，连接EC并延长，交圆于点A，弦BC和AD相交于点F．
如图所示，过点P分别做圆O的切线PA、PB和割线PCD，弦BE交CD于F，且AE∥CD．