Question

2．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t-1}\end{array}\right.$（t为参数，t∈R），设平面直角坐标系原点与极坐标系极点重合，x轴正半轴与极轴重合，且曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ}$．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：
（2）求曲线C上的点到直线l距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t-1}\end{array}\right.$（t为参数，t∈R），消去t可得普通方程．由曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ}$，可得：4ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，把x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把化为直角坐标方程．
（2）设曲线C上的点P$（\sqrt{3}cosθ，2sinθ）$，利用点到直线的距离公式、和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t-1}\end{array}\right.$（t为参数，t∈R），消去t可得普通方程：x-y-1=0．
由曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ}$，
可得：4ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，化为直角坐标方程：4x²+3y²=12，即$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1．
（2）设曲线C上的点P$（\sqrt{3}cosθ，2sinθ）$，
则点P到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-2sinθ-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{7}sin（θ-φ）+1|}{\sqrt{2}}$$≤\frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$．
∴曲线C上的点到直线l距离的最大值为$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、点到直线的距离公式、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．