Question

1．已知△ABC的外接圆为⊙O，∠B的平分线交圆O于D，过D作圆O的切线DE与BC的延长线交于E，连接AD，CD，过E再作圆的割线交圆O于F，H．
（1）求证：∠DEB=∠ADB；
（2）若△ABC为边长为2的等边三角形，且HF=FE，试求HF的长．

Answer 1

分析 （1）利用圆的切线的性质及平行线的性质，即可证明：∠DEB=∠ADB；
（2）若△ABC为边长为2的等边三角形，求出BD，DE，由切割线的定理可得DE²=EH•EF求HF的长．

解答 证明：（1）由BD平分∠B可得∠ABD=∠DBC，
由DE为切线，可知∠DBC=∠CDE，∠DCA=∠ABD，
∴∠ACD=∠EDC，
∴AC∥DE，∠DEC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠DEB=∠ADB．------------------（5分）
解：（2）当△ABC为等边三角形，可知∠B=60°，∠DBC=30°，
BD为圆O的直径，DC⊥BC，$BD=\frac{BC}{cos30°}=\frac{2}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
在Rt△BDE中，$DE=BDtan∠DBE=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{4}{3}$，
由切割线的定理可得DE²=EH•EF，
∴${（\frac{4}{3}）^2}=2HF•HF$，
∴$HF=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．----（10分）

点评 本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了切割线的定理，本题总体难度不大，属于中档题．