Question

6．若正数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a²+2a+2xy-34≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{3}{2}$]∪[$\frac{3}{2}$，+∞）
• B． （-∞，-3]∪[$\frac{3}{2}$，+∞）
• C． （-∞，-3]∪[$\frac{5}{2}$，+∞）
• D． （-∞，-$\frac{3}{2}$]∪[$\frac{5}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 原不等式恒成立可化为xy≥$\frac{2{a}^{2}-a+17}{2{a}^{2}+1}$恒成立，由基本不等式结合不等式的解法可得xy≥2，故只需2≥$\frac{2{a}^{2}-a+17}{2{a}^{2}+1}$恒成立，解关于a的不等式可得．

解答 解：∵正实数x，y满足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy-4，
∴不等式（x+2y）a²+2a+2xy-34≥0恒成立，
即（4xy-4）a²+2a+2xy-34≥0恒成立，
变形可得2xy（2a²+1）≥4a²-2a+34恒成立，
即xy≥$\frac{2{a}^{2}-a+17}{2{a}^{2}+1}$恒成立，
∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2$\sqrt{2xy}$，
∴4xy=x+2y+4≥4+2$\sqrt{2xy}$，
即2（$\sqrt{xy}$）²-$\sqrt{2}$•$\sqrt{xy}$-2≥0，解不等式可得$\sqrt{xy}$≥$\sqrt{2}$，或$\sqrt{xy}$≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍负）
可得xy≥2，要使xy≥$\frac{2{a}^{2}-a+17}{2{a}^{2}+1}$恒成立，只需2≥$\frac{2{a}^{2}-a+17}{2{a}^{2}+1}$恒成立，
化简可得2a²+a-15≥0，
即（a+3）（2a-5）≥0，解得a≤-3或a≥$\frac{5}{2}$，
故答案为：（-∞，-3]∪[$\frac{5}{2}$，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查基本不等式的应用，涉及恒成立问题，变形并求出需要的最小值是解决问题的关键，属中档题．