Question

15．已知抛物线的焦点在x轴上，且经过点P$（\frac{1}{4}，-1）$，
（1）求抛物线的标准方程；
（2）经过焦点F且倾斜角是$\frac{π}{4}$的直线L与抛物线相交于两点A和B，求弦长|AB|．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：设抛物线方程y²=2px，将P$（\frac{1}{4}，-1）$，代入抛物线方程，即可求得p的值，求得抛物线方程；
（2）方法一：设直线l的方程y=x-1，代入抛物线方程，由韦达定理求得x₁+x₂=6．|AB|=x₁+x₂+p=6+2=8；方法二：由抛物线的焦点弦公式可知：|AB|=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$=8．

解答 解：（1）抛物线的焦点在x轴上，经过点P$（\frac{1}{4}，-1）$，设抛物线方程y²=2px，
将P$（\frac{1}{4}，-1）$，代入抛物线方程：1=2p×$\frac{1}{4}$，2p=4，
∴抛物线的标准方程y²=4x；
（2）方法一：由（1）可知抛物线的焦点坐标F（1，0），直线l的斜率k=1，
设直线l的方程y=x-1，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：得x²-6x+1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=6．
∴|AB|=x₁+x₂+p=6+2=8；
方法二：由抛物线的焦点弦公式可知：|AB|=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{4}{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=8，
弦长|AB|长为8．

点评 本题考查抛物线的标准方程及焦点弦公式，考查待定系数法的应用，要熟练掌握焦点弦的弦公式的特殊公式，考查计算能力，属于中档题．