题目内容
设A，B，C为圆O上三点，且满足|
|=1，|
|=
，
=x
+y
，则点集{（x，y）||
|≥1且|2x-4|+|y|≤4}所表示的区域的面积是（ ）
| AB |
| AC |
| 2 |
| AO |
| AB |
| AC |
| AO |
A、2
| ||
| B、2 | ||
C、4
| ||
| D、4 |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：根据圆的性质和条件，利用向量的数量积分别求出
•
、
•
的值，再得
2=x
•
+y
•
，求出|
|≥1的表达式，再分四种情况对|2x-4|+|y|≤4进行化简，根据列出的一元二次不等式画出满足条件的平面区域，然后结合图形可知条件表示的图形，最后利用直线的位置关系求出其面积．
| AO |
| AB |
| AO |
| AC |
| AO |
| AO |
| AB |
| AO |
| AC |
| AO |
解答：
解：设AB的中点为D，
由A，B为圆O上三点得：DO⊥AB，
∴
•
=(
+
)•
=
•
=
2=
，
同理可得，
•
=
2=1，
由
=x
+y
得，
2=x
•
+y
•
=
x+y，
∵|
|≥1，∴
2=|
|2=
x+y≥1，即x+2y-2≥0，
由|2x-4|+|y|≤4得，
当x≥2、y≥0时，|2x-4|+|y|≤4变为：2x+y-8≤0；
当x＜2、y≥0时，|2x-4|+|y|≤4变为：2x-y≥0；
当x≥2、y＜0时，|2x-4|+|y|≤4变为：2x-y-8≤0；
当x＜2、y＜0时，|2x-4|+|y|≤4变为：2x+y≥0；
根据以上5个不等式画出一元二次不等式组所表示的平面区域如下图中的阴影部分：
由直线x+2y=0和2x+y+8=0平行，以及直线2x-y=0和2x-y-8=0平行知，
四边形DEFH的面积与三角形OEF的面积相等，
即得所求面积为
×4×4=8，
故选：B．
由A，B为圆O上三点得：DO⊥AB，
∴
| AO |
| AB |
| AD |
| DO |
| AB |
| AD |
| AB |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| 1 |
| 2 |
同理可得，
| AO |
| AC |
| 1 |
| 2 |
| AC |
由
| AO |
| AB |
| AC |
| AO |
| AO |
| AB |
| AO |
| AC |
| 1 |
| 2 |
∵|
| AO |
| AO |
| AO |
| 1 |
| 2 |
由|2x-4|+|y|≤4得，
当x≥2、y≥0时，|2x-4|+|y|≤4变为：2x+y-8≤0；
当x＜2、y≥0时，|2x-4|+|y|≤4变为：2x-y≥0；
当x≥2、y＜0时，|2x-4|+|y|≤4变为：2x-y-8≤0；
当x＜2、y＜0时，|2x-4|+|y|≤4变为：2x+y≥0；
根据以上5个不等式画出一元二次不等式组所表示的平面区域如下图中的阴影部分：
由直线x+2y=0和2x+y+8=0平行，以及直线2x-y=0和2x-y-8=0平行知，
四边形DEFH的面积与三角形OEF的面积相等，
即得所求面积为
| 1 |
| 2 |
故选：B．
点评：本题考查了平面向量的数量积运算、圆的性质，以及一元二次不等式组所表示的平面区域，同时考查了转化思想、分类讨论思想和数形结合的思想，难度较大．
练习册系列答案
相关题目
已知x∈R，则“x2-3x＜0”是“（x-1）（x-2）≤0成立”的（ ）
| A、充分不必要条件 |
| B、必要不充分条件 |
| C、充分必要条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |
已知向量
=（
，1），
=（1，c）．若
•
=0，则实数c的值为（ ）
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
A、-
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、-
|
将一枚骰子先后掷两次，向上点数之和为x，则x≥7的概率为（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
双曲线mx2+y2=1的离心率e=
，则m为（ ）
| 5 |
A、-
| ||
| B、-4 | ||
| C、4 | ||
D、
|
用反证法证明命题：若a+b+c为偶数，则“自然a、b、c恰有一个偶数”时正确反设为（ ）
| A、a、b、c都是奇数 |
| B、a、b、c都是偶数 |
| C、a、b、c中至少有两个偶数 |
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