Question

数列{a_n}中相邻两项a_n与a_n+1是方程x²+3nx+b_n=0的两根，已知a₁₀=-13，则b₂₁等于

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由于a_n与a_n+1是方程x²+3nx+b_n=0的两根，可得a_n+a_n+1=-3n，a_n•a_n+1=b_n．由a_n+a_n+1=-3n，a_n+1+a_n+2=-3（n+1），可得a_n+2-a_n=-3，可得n为奇数、偶数时分别成等差数列，由a₁₀=-13，可得a₂₂，进而得到a₂₁．

解答： 解：∵a_n与a_n+1是方程x²+3nx+b_n=0的两根，
∴a_n+a_n+1=-3n，a_n•a_n+1=b_n．
由a_n+a_n+1=-3n，a_n+1+a_n+2=-3（n+1），
∴a_n+2-a_n=-3，
可得n为奇数、偶数时分别成等差数列，
由a₁₀=-13，
∴a₂₂=-13+6×（-3）=-31，
∴a₂₁=-3×21-（-31）=-32，
∴b₂₁=a₂₁•a₂₂=-31×（-32）=992．
故答案为：992．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、一元二次方程的根与系数的关系、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．