Question

已知x=a₁是函数f（x）=

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x⁴+bx²+cx+d的唯一极值点且为最小值点，若存在a₂∈（a₁，a₁+1）使得f′（a₂）=0，则关于x的函数g（x）=f（x）-

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x²+a₁x在（a₁，a₂）上的零点的说法正确的是（　　）

• A、至多只有一个零点
• B、只有唯一的零点
• C、可能存在两个零点
• D、可能存在四个零点

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由题意求导f′(x)=x3+2bx+c=(x-a1)(x-a2)2，从而再求导g′(x)=f′(x)-x+a1=(x-a1)(x-a2)2-(x-a1)=(x-a1)[(x-a2)2-1]，从而由函数的零点判定定理确定零点的个数．

解答： 解：由题意得，
f′(x)=x3+2bx+c=(x-a1)(x-a2)2，
∴g′(x)=f′(x)-x+a1=(x-a1)(x-a2)2-(x-a1)=(x-a1)[(x-a2)2-1]，
设a₁＜x＜a₂，
∵a₁＜a₂＜a₁+1，
∴x-a₁＞0，x-a₁-1＜x-a₂
∵x-a₁-1＞-1，x-a₂＜0，
∴-1＜x-a₂＜0，得(x-a2)2＜1；
∴g′(x)=(x-a1)[(x-a2)2-1]＜0，
即函数g（x）在（a₁，a₂）上是减函数；
∴g（x）在（a₁，a₂）至多只有一个零点．
故选A．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，属于基础题．