已知定义在上的单调函数f.都有f[f(x)-lnx]=e+1.则函数g-e的零点所在区间是( )A．(1.2)B．(2.3)C．D．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对?x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=e+1，则函数g（x）=f（x）-f′（x）-e的零点所在区间是（　　）

A．

（1，2）

B．

（2，3）

C．

（$\frac{1}{2}$，1）

D．

（0，$\frac{1}{2}$）

分析由设t=f（x）-lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，求出f（x）=lnx+e，则方程f（x）-f′（x）=e的解可转化成方程lnx-$\frac{1}{x}$=0的解，根据零点存在定理即可判断．

解答解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=e+1，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-lnx为定值，
设t=f（x）-lnx，
则f（x）=lnx+t，
又由f（t）=e+1，
即lnt+t=e+1，
解得：t=e，
则f（x）=lnx+e，f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴f（x）-f′（x）=lnx+e-$\frac{1}{x}$=e，
即lnx-$\frac{1}{x}$=0，
则方程f（x）-f′（x）=e的解可转化成方程lnx-$\frac{1}{x}$=0的解，
令h（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，
而h（2）=ln2-$\frac{1}{2}$＞0，h（1）=ln1-1＜0，
∴方程lnx-$\frac{1}{x}$=0的解所在区间为（1，2），
∴方程f（x）-f′（x）=e的解所在区间为（1，2），
故选：A．

点评本题考查了导数的运算和零点存在定理，关键是求出f（x），考查转化思想的应用，属于中档题．

练习册系列答案

16．不等式$-\sqrt{3}＜tanx＜2$的解集是（　　）

	A．	$\left\{{x\left\|{kπ-\frac{π}{3}＜x＜kπ+arctan2\;，\;\;k∈Z}\right.}\right\}$		B．	$\left\{{x\left\|{kπ+arctan2＜x＜kπ+\frac{2π}{3}\;，\;\;k∈Z}\right.}\right\}$
	C．	$\left\{{x\left\|{2kπ-\frac{π}{3}＜x＜2kπ+arctan2\;，\;\;k∈Z}\right.}\right\}$		D．	$\left\{{x\left\|{2kπ+arctan2＜x＜2kπ+\frac{2π}{3}\;，\;\;k∈Z}\right.}\right\}$

13．已知函数f（x）=（x-a）e^-x，其中a为常数．
（1）判断f（x）在x=0处的切线是否经过一个定点，并说明理由；
（2）讨论f（x）在区间[-2，3]上的单调性．

20．已知圆C的圆心与抛物线y²=4x的焦点关于直线y=x对称，直线4x-3y-2=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的标准方程为x²+（y-1）²=10．

10．已知集合A={-1，0，1}，B={x|x=sin$\frac{2k+1}{x}$，k∈Z}，则∁_AB=（　　）

17．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax（a∈R），且曲线f（x）在x=$\frac{1}{2}$处的切线与直线y=-$\frac{3}{4}$x-1平行．
（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-m在区间[-3，$\sqrt{3}$]上有三个零点，求实数m的取值范围．

14．f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+2x+1}$，g（x）=|x-1|．
（1）求不等式|f（x）-1|＜2的解集；
（2）当|a+b|-|a-b|＞2|b|[f（x）-g（x）]（b≠0，a，b∈R）的解集非空，求x的取值范围．