Question

5．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，$f（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}-1$．若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． （2，+∞）
• C． $（{1，\root{4}{3}}）$
• D． $（{\root{4}{3}，2}）$

Answer 1

分析 利用f（x）的周期性做出f（x）在（-2，6]上的函数图象，根据交点个数列出不等式组，求出a的范围．

解答 解：∵f（x-2）=f（x+2），∴f（x）=f（x+4），
∴f（x）周期为4，
做出y=f（x）在（-2，6]上的函数图象如图所示：

∵关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，
∴y=f（x）与y=log_a（x+2）（a＞1）的函数图象在（-2，6]上有3个交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}4＜3}\\{lo{g}_{a}8＞3}\end{array}\right.$，解得：$\root{3}{4}$＜a＜2．
故选：D．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．