Question

6．椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，离心率$e=\frac{1}{2}$，焦点F₁、F₂在x轴上，过左焦点F₁ 与A 做直线交椭圆E于B．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求△ABF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），利用已知条件列出方程，求解a，b即可得到椭圆方程．
（2）求出F₁（-2，0），F₂（2，0），求出直线AB的斜率为：$\frac{3}{4}$，方程为y=$\frac{3}{4}$（x+2）．联立直线与椭圆方程，然后求解三角形的面积．

解答 （12分）解：（1）设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{{b}^{2}}=1}\\{\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解之得a²=16，b²=12．所以椭圆E的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．…（4分）
（2）解：由（Ⅰ）知，F₁（-2，0），F₂（2，0），AF₂⊥x轴．
所以直线AB的斜率为：$\frac{3}{4}$，其方程为y=$\frac{3}{4}$（x+2）．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}y-2}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=48}\end{array}\right.$，得7y²-12y-27=0．

已知y₁=3，由${y_1}+{y_2}=\frac{12}{7}$得${y_2}=-\frac{9}{7}$，
∴${S_{△AB{F_2}}}=c•|{y_1}-{y_2}|=2×\frac{30}{7}=\frac{60}{7}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力．