题目内容
已知函数f（x）是奇函数，存在常数a＞0，使f（a）=1，又f（x1-x2）=
．
（1）求f（2a）；
（2）若f（x）有意义，证明：存在常数t＞0，使f（x+t）=f（x）；
（3）若x∈（0，2a），则f（x）＞0成立，求证：当x∈（0，2a）时f（x）是减函数．
| f(x1)f(x2)+1 |
| f(x2)-f(x1) |
（1）求f（2a）；
（2）若f（x）有意义，证明：存在常数t＞0，使f（x+t）=f（x）；
（3）若x∈（0，2a），则f（x）＞0成立，求证：当x∈（0，2a）时f（x）是减函数．
考点：函数奇偶性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）令x1=2a，x2=a，带入f(x1-x2)=
，并根据f（a）=1可求出f（2a）=0；
（2）根据已知条件及f（2a）=0，f（x+2a）=-
，所以可求出f（x+4a）=f（x），所以便找到了t=4a；
（3）根据单调性的定义任设x1，x2∈（0，2a），且x1＞x2，再根据条件：f(x1-x2)=
即可比较f（x1），f（x2）的大小关系，从而证明出函数f（x）在（0，2a）上是减函数．
| f(x1)f(x2)+1 |
| f(x2)-f(x1) |
（2）根据已知条件及f（2a）=0，f（x+2a）=-
| 1 |
| f(x) |
（3）根据单调性的定义任设x1，x2∈（0，2a），且x1＞x2，再根据条件：f(x1-x2)=
| f(x1)f(x2)+1 |
| f(x2)-f(x1) |
解答：
解：（1）令x1=2a，x2=a得：f（a）=
；
∵f（a）=1，∴1=
，解得f（2a）=0；
（2）证明：f（x+2a）=f[x-（-2a）]=
；
∵f（x）是奇函数，f（2a）=0；
∴f（-2a）=-f（2a）=0；
∴f（x+2a）=-
；
∴f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]=-
=f(x)；
∴存在常数4a＞0，使f（x+4a）=f（x）；
（3）设x1，x2∈（0，2a），且x1＞x2，则：
f（x2）-f（x1）=
，x1-x2∈（0，2a）；
∴根据x∈（0，2a）时，f（x）＞0得：f（x1）＞0，f（x2）＞0，f（x1-x2）＞0；
∴f（x2）-f（x1）＞0，f（x1）＜f（x2）；
∴当x∈（0，2a）时f（x）是减函数．
| f(2a)f(a)+1 |
| f(a)-f(2a) |
∵f（a）=1，∴1=
| f(2a)+1 |
| 1-f(2a) |
（2）证明：f（x+2a）=f[x-（-2a）]=
| f(x)f(-2a)+1 |
| f(-2a)-f(x) |
∵f（x）是奇函数，f（2a）=0；
∴f（-2a）=-f（2a）=0；
∴f（x+2a）=-
| 1 |
| f(x) |
∴f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]=-
| 1 |
| f(x+2a) |
∴存在常数4a＞0，使f（x+4a）=f（x）；
（3）设x1，x2∈（0，2a），且x1＞x2，则：
f（x2）-f（x1）=
| f(x1)f(x2) |
| f(x1-x2) |
∴根据x∈（0，2a）时，f（x）＞0得：f（x1）＞0，f（x2）＞0，f（x1-x2）＞0；
∴f（x2）-f（x1）＞0，f（x1）＜f（x2）；
∴当x∈（0，2a）时f（x）是减函数．
点评：考查奇函数的定义，根据函数单调性的定义证明函数的单调性的方法．
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