题目内容
在直三棱柱（侧棱垂直底面）ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°．（1）证明△A1BC为等边三角形；
（2）求棱柱的高．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）由三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成的角或所成角的补角，由此能证明△A1BC为等边三角形．
（2）由（1）知△A1BC为等边三角形，在Rt△A1AB中，由
•A1B=
，能求出棱柱的高为1．
（2）由（1）知△A1BC为等边三角形，在Rt△A1AB中，由
| 1-AA12 |
| 2 |
解答：
（1）证明：由三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
得AA1是三棱柱的高，
∵BC∥B1C1，
∴∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成的角或所成角的补角，
连结A1C，
∵AB=AC，∴A1B=A1C=
，
在Rt△ABC中，由AB=AC=1，∠BAC=90°，得BC=
，
又异面直线A1B与B1C1所成的角为60°，∴∠A1BC=60°，
∴△A1BC为等边三角形．
（2）解：由（1）知△A1BC为等边三角形，
A1B•B1C1=
，
∴在Rt△A1AB中，
由
•A1B=
，
解得AA1=1，棱柱的高为1．
得AA1是三棱柱的高，
∵BC∥B1C1，
∴∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成的角或所成角的补角，
连结A1C，
∵AB=AC，∴A1B=A1C=
| 1+AA12 |
在Rt△ABC中，由AB=AC=1，∠BAC=90°，得BC=
| 2 |
又异面直线A1B与B1C1所成的角为60°，∴∠A1BC=60°，
∴△A1BC为等边三角形．
（2）解：由（1）知△A1BC为等边三角形，
A1B•B1C1=
| 2 |
∴在Rt△A1AB中，
由
| 1-AA12 |
| 2 |
解得AA1=1，棱柱的高为1．
点评：本题考查等边三角形的证明，考查棱柱的高的注法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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