题目内容
已知四棱锥P-ABCD，PC⊥底面ABCD，PC=2，且底面ABCD是边长为1的正方形，E是侧棱PC上的 一点，点F在线段BD上，且满足DF=3BF，若EF∥平面PAB．（1）求
| PE |
| EC |
（2）求二面角B-EF-C的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出
．
（2）由（1）得E（0，0，
），求出平面EFB的法向量和平面EFC的法向量，利用向量法能求出二面角B-EF-C的余弦值．
| PE |
| EC |
（2）由（1）得E（0，0，
| 3 |
| 2 |
解答：
解：
（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设CE=t，由已知得E（0，0，t），F（
，
，0），
P（0，0，2），A（1，1，0），B（0，1，0），
=(1，1，-2)，
=（0，1，-2），
设平面PAB的法向量
=（x，y，z），
则
，
取z=1，得
=（0，2，1），
=（
，
，-t），
∵EF∥平面PAB，
∴
•
=
-t=0，解得t=
，
∴
=
=
．
（2）由（1）得E（0，0，
），
=（
，
，-
），
=（0，1，-
），
=（0，0，-
），
设平面EFB的法向量
=（a，b，c），
则
，
取c=2，得
=（3，3，2），
设平面EFC的法向量
=（x1，y2，z3），
则
，
取y1=-1，得
=（3，-1，0），
设二面角B-EF-C的平面角为θ，
cosθ=|cos＜
，
＞|=|
|=
．
∴二面角B-EF-C的余弦值为
．
（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，
设CE=t，由已知得E（0，0，t），F（
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
P（0，0，2），A（1，1，0），B（0，1，0），
| PA |
| PB |
设平面PAB的法向量
| n |
则
|
取z=1，得
| n |
| EF |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∵EF∥平面PAB，
∴
| EF |
| n |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴
| PE |
| EC |
2-
| ||
|
| 1 |
| 3 |
（2）由（1）得E（0，0，
| 3 |
| 2 |
| EF |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| EB |
| 3 |
| 2 |
| EC |
| 3 |
| 2 |
设平面EFB的法向量
| m |
则
|
取c=2，得
| m |
设平面EFC的法向量
| p |
则
|
取y1=-1，得
| p |
设二面角B-EF-C的平面角为θ，
cosθ=|cos＜
| m |
| p |
| 9-3+0 | ||||
|
3
| ||
| 55 |
∴二面角B-EF-C的余弦值为
3
| ||
| 55 |
点评：本题考查线段的比值的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
若抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离为2p，则M点的横坐标为（ ）
| A、p | ||
| B、2p | ||
C、
| ||
D、
|
如图的几何体是长方体A BCD-A1B1C1D1的一部分，其中A B=AD=3，DD1=BB1=2cm则该几何体的外接球的表面积为（ ）| A、11πcm2 | ||||
| B、22πcm2 | ||||
C、
| ||||
D、11
|