Question

15．求下列直线或圆的方程
（1）过点（2，1）且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程；
（2）以线段AB：x+y-2=0（0≤x≤2）为直径的圆的标准方程；
（3）圆C₁：（x+1）²+（y-1）²=1，圆C₂与圆C₁关于直线x-y-1=0对称，则圆C₂的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意和垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式可得．
（2）在圆C₂上任取一点（x，y），求出此点关于直线X-Y-1=0的对称点，则此对称点在圆C₁上，再把对称点坐标代入圆C₁的方程，化简可得圆C₂的方程．
（3）分别令x=0与y=0求出线段AB两端点的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，即为圆心坐标，利用两点间的距离公式求出线段AB的长，即为圆的直径，确定出圆的半径，写出圆的标准方程即可．

解答 解：（1）：∵直线x+3y+4=0的斜率为-$\frac{1}{3}$∴与直线x+3y+4=0垂直的直线斜率为3，
故点斜式方程为y-1=3（x-2），
化为一般式可得3x-y-5=0，
（2）对于x+y-2=0（0≤x≤2），
令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=2，
∴A（2，0），B（0，2），
∴线段AB中点坐标为（1，1），即为圆心坐标；
|AB|=$\sqrt{（2-0）^{2}+（0-2）^{2}}=2\sqrt{2}$，即圆的半径为$\sqrt{2}$，则所求圆的标准方程为（x-1）²+（y-1）²=2．
（3）在圆C₂上任取一点（x，y），则此点关于直线x-y-1=0的对称点（y+1，x-1）在圆C₁：（x+1）²+（y-1）²=1上，
∴有（y+1+1）²+（x-1-1）²=1，即 （x-2）²+（y+2）²=1，

点评 本题考查直线的一般式方程和垂直关系，一曲线关于一直线对称的曲线方程的求法，直线与圆相交的性质，属基础题．