Question

17．若$\int_0^x{{a^2}da={x^2}}$（x＞0），则$\int_1^x{|{a-2}|da=}$1．

Answer 1

分析 由题意可知$\frac{1}{3}$x³=x²，（x＞0），即可求得x的值，根据分段函数定积分的性质，即可求得答案．

解答 解：由题意可知$\int_0^x{{a^2}da={x^2}}$（x＞0），则${∫}_{0}^{x}$a²da=$\frac{1}{3}$a³${丨}_{0}^{x}$=$\frac{1}{3}$x³=x²，
则$\frac{1}{3}$x³=x²，（x＞0），解得：x=3，
$\int_1^x{|{a-2}|da=}$${∫}_{1}^{x}$丨a-2丨da=${∫}_{1}^{2}$（2-a）da+${∫}_{2}^{3}$（a-2）da，
=（2a-$\frac{1}{2}$a²）${丨}_{1}^{2}$+（$\frac{1}{2}$a²-2a）${丨}_{2}^{3}$，
=（4-2）-（2-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{9}{2}$-6）-（2-4），
=1，
∴$\int_1^x{|{a-2}|da=}$1，
故答案为：1．

点评 本题考查定积分的运算，分段函数的定积分的性质，考查计算能力，属于中档题．