Question

6．函数f（a）=（3m-1）a+b-2m，当m∈[0，1]时，0≤f（a）≤1恒成立，则$\frac{{{b^2}-{a^2}}}{ab}$的范围是[0，$\frac{15}{4}$]．

Answer 1

分析 先根据恒成立写出有关a，b的约束条件，再在aob系中画出可行域，由斜率模型可得1≤

b

a

≤4．又

b2-a2

ab

=

b

a

-

a

b

，令

b

a

=t，则1≤t≤4，利用y=t-

1

t

在[1，4]上单调递增，即可得出结论．

解答 解：令g（m）=（3a-2）m+b-a．
由题意当m∈[0，1]时，0≤f（a）≤1可得

0≤g（0）≤1 0≤g（1）≤1

，
∴0≤b-a≤1，0≤2a+b-2≤1．  
即 a≤b≤1+a ①，2≤2a+b≤3  ②．
把（a，b）看作点画出可行域，由斜率模型可得1≤

b

a

≤4．
又

b2-a2

ab

=

b

a

-

a

b

，令

b

a

=t，则1≤t≤4，
∵y=t-

1

t

在[1，4]上单调递增，
∴t=4时，即a=

1

3

，b=

4

3

时，y有最大值是

15

4

，
t=1时，即a=1，b=1时，y有最小值是0．
故答案为：[0，$\frac{15}{4}$]．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用线性规划知识求最值，是中档题．